已知数列{an}满足：a1=1，an={1+2an2n为偶数...
解：（Ⅰ）因为a1=1，所以a2=1+2a1=3，a3=12+2a1=52，a4=1+2a2=7，a5=12+2a2=132（3分）
（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bn=a2n-1+1，
所以bn+1=a2n+1（4分）
又a2n+1=(2a2n2+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn
所以bn+1=2bn（6分）
又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）
（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，
a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）
我们先来证明：
“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2”
由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．
当k为奇数时，a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12
当k为偶数时，a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2
记k1={k2k为偶数k-12k为奇数
因此要证a2n-1+k=2n-1-k2，只需证明a2n-2+k1=2n-1-1-k12，
其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*
（这是因为若a2n-2+k1=2n-1-1-k12，则当k1=k-12时，则k一定是奇数，
有a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12
=12+2(2n-1-1-k12)=12+2(2n-1-1-k-122)=2n-1-k2；
当k1=k2时，则k一定是偶数，有a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2
=1+2(2n-1-1-k12)=1+2(2n-1-1-k22)=2n-1-k2）
如此递推，要证a2n-2+k1=2n-1-1-k12，只要证明a2n-3+k2=2n-2-1-k22，
其中k2={k12k1为偶数k1-12k1为奇数，k2∈（0，2n-3），k2∈N*
如此递推下去，我们只需证明a21+kn-2=22-1-kn-22，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*
即a21+1=22-1-12=3-12=52，即a3=52，由（I）可得，
所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2，
对任意的m≥2，m∈N*，a2m+i=2m+1-1-i2，a2m+i+1=2m+1-1-i+12，
其中i∈（0，2m-1），i∈N*，
所以a2m+i+1-a2m+i=-12
又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-12，所以a2m+1-a2m=-12
所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项，
是首项为a2m=2m+1-1，公差为-12的等差数列（13分）
说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，
因为a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1构成一个项数为2m2的等差数列，
所以从这个数列中任取连续的2m1项，也是一个项数为2m1，公差为-12的等差数列．
已知数列{an}满足a1=1,且an=3an? …… 解:(1)设an A•2n=3(an-1 A•2n-1),整理得an=3an-1 A•2n-1,对比an=3an-1 2n-1,得A=1.∴an 2n=3(an-1 2n-1),∴{an 2n}是以a1 21即为首项,以3为公比的等比数列,(2)由(1)知an 2n=3•3n-1=3n,∴an=3n-2n,n∈N*,∴Sn=(31-21) (32-22) (33-23) … (3n-2n)=(31 32 33 … 3n)-(21 22 23 … 2n)=3(1-3n)1-3-2(1-2n)1-2=3n 12-2n 1 12.
已知一个等差数列{an}前10项的和是125? …… 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知S10=1257,S20=-2507.由等差数列的求和公式可得:S10=10a1 10*92d=1257 ①S20=20a1 20*192d=-2507 ②,由①②解得d=-57,a1=5故an=5 (n-1)(-57)=40-5n7,所以前n项和Sn=n(a1 an)2=75n-5n214(2)由(1)可知,an=40-5n7,令40-5n7≤0解得n≥8,故差数列{an}的前7项均为正,第8项为0,从第9项开始全为负值,故差数列{an}的前7项和等于前8项和都为最大值.故使得Sn最大的序号n的值为:7或8
已知等差数列{an}的前三项为a - 1,4,2? …… 解:(1)∵等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,∴2*4=(a-1) 2a,解得a=3;(2)由(1)知a=3,可得a1=a-1=2,∴公差d=4-2=2,∴an=2 2(n-1)=2n,∴Sk=k(a1 ak)2=k(2 2k)2=k(k 1)=2550,解得k=50,或k=-51(舍去)∴k的值为:50
已知等比数列{an}满足a1a6=11,且a? …… 解:(1)由题意得{a1 a1q5=11a1q2•a1q3=329,则{a1 =323q =12或{a1 =13q =2∴an=323• (12)n-1=13•26-n或an=13•2n-1.(2)对an=13•2n-1,若存在题设要求的m,则2•(13•2m-1)2=23•13•2m-2 13•2m 49.∴(2m)2-7•2m-8=0.∴2m=8,m=3.对an=13•26-n,若存在题设要求的m,同理有(26-m)2-11•26-m-8=0.而△=112 16*8不是完全平方数,故此时所需的m不存在.综上所述,满足条件的等比数列存在,且有an=13•2n-1.
已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=? …… 证明:(I)∵数列{an}为等比数列,a1=13,q=13∴an=13*(13)n-1=13n,Sn=13(1- 13n)1-13=1-13n2又∵1-an2=1-13n2=Sn∴Sn=1-an2(II)∵an=13n∴bn=log3a1 log3a2 … log3an=-log33 (-2log33) …-nlog33=-(1 2 … n)=-n(n 1)2∴数列{bn}的通项公式为:bn=-n(n 1)2
等差数列{an}中,已知a1=13,a2a5? …… 解:设等差数列{an}的公差为d,由已知a1=13,a2 a5=4,可得{a1=132a1 5d=4,解得d=23,又an=33,∴13 (n-1)*23=33,解得n=50.∴an=13 (n-1)*23=2n 13.Sn=n(13 2n 13)2=n(n 1)3.
对数列{an},规定{△an? …… 解:(Ⅰ)△an=an 1-an=(n 1)2 (n 1)-(n2 n)=2n 2,∵△an 1-△an=2,且△a1=4,(2分)∴{△an}是首项为4,公差为2的等差数列,不是等比数列. (3分)∵△2an=2(n 1) ...
等差数列{an}各项依次递减,且有a2a4a? …… 解:设等差数列{an}的公差为d,由a2a4a6=45,得(a4-2d)a4(a4 2d)=45①由a2 a4 a6=15,得3a4=15,a4=5.把a4=5代入①得,d=±2.因为差数列{an}各项依次递减,所以d=-2.所以通项公式是an=a4 (n-4)d=5-2(n-4)=-2n 13.故选C.
对于数列{an},若定义一种新运算:△an=? …… 解:(1)∵△an=an 1-an,an=5n2 3n∴△an=5(n 1)2 3(n 1)-(5n2 3n)=10n 8∴{△an}是以18 为首项,10为公差的等差数列∵△2an=△an 1-△an=an 2-an 1-(an 1-an)=20n ...
等差数列{an}中a3=6,a6=0(1)求? …… 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=6,a6=0,∴{a1 2d=6a1 5d=0,解得{a1=10d=-2,∴an=a1 (n-1)d=10-2(n-1)=12-2n.(2)b2=a1 a2 a3=10 8 6=24.∴q=b2b1=24-8=-3.∴bn=-8•(-3)n-1.∴Sn=-8[(-3)n-1]-3-1=2•(-3)n-2.
（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bn=a2n-1+1，
所以bn+1=a2n+1（4分）
又a2n+1=(2a2n2+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn
所以bn+1=2bn（6分）
又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）
（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，
a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）
我们先来证明：
“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2”
由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．
当k为奇数时，a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12
当k为偶数时，a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2
记k1={k2k为偶数k-12k为奇数
因此要证a2n-1+k=2n-1-k2，只需证明a2n-2+k1=2n-1-1-k12，
其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*
（这是因为若a2n-2+k1=2n-1-1-k12，则当k1=k-12时，则k一定是奇数，
有a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12
=12+2(2n-1-1-k12)=12+2(2n-1-1-k-122)=2n-1-k2；
当k1=k2时，则k一定是偶数，有a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2
=1+2(2n-1-1-k12)=1+2(2n-1-1-k22)=2n-1-k2）
如此递推，要证a2n-2+k1=2n-1-1-k12，只要证明a2n-3+k2=2n-2-1-k22，
其中k2={k12k1为偶数k1-12k1为奇数，k2∈（0，2n-3），k2∈N*
如此递推下去，我们只需证明a21+kn-2=22-1-kn-22，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*
即a21+1=22-1-12=3-12=52，即a3=52，由（I）可得，
所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2，
对任意的m≥2，m∈N*，a2m+i=2m+1-1-i2，a2m+i+1=2m+1-1-i+12，
其中i∈（0，2m-1），i∈N*，
所以a2m+i+1-a2m+i=-12
又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-12，所以a2m+1-a2m=-12
所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项，
是首项为a2m=2m+1-1，公差为-12的等差数列（13分）
说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，
因为a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1构成一个项数为2m2的等差数列，
所以从这个数列中任取连续的2m1项，也是一个项数为2m1，公差为-12的等差数列．
已知数列{an}满足a1=1,且an=3an? …… 解:(1)设an A•2n=3(an-1 A•2n-1),整理得an=3an-1 A•2n-1,对比an=3an-1 2n-1,得A=1.∴an 2n=3(an-1 2n-1),∴{an 2n}是以a1 21即为首项,以3为公比的等比数列,(2)由(1)知an 2n=3•3n-1=3n,∴an=3n-2n,n∈N*,∴Sn=(31-21) (32-22) (33-23) … (3n-2n)=(31 32 33 … 3n)-(21 22 23 … 2n)=3(1-3n)1-3-2(1-2n)1-2=3n 12-2n 1 12.
已知一个等差数列{an}前10项的和是125? …… 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知S10=1257,S20=-2507.由等差数列的求和公式可得:S10=10a1 10*92d=1257 ①S20=20a1 20*192d=-2507 ②,由①②解得d=-57,a1=5故an=5 (n-1)(-57)=40-5n7,所以前n项和Sn=n(a1 an)2=75n-5n214(2)由(1)可知,an=40-5n7,令40-5n7≤0解得n≥8,故差数列{an}的前7项均为正,第8项为0,从第9项开始全为负值,故差数列{an}的前7项和等于前8项和都为最大值.故使得Sn最大的序号n的值为:7或8
已知等差数列{an}的前三项为a - 1,4,2? …… 解:(1)∵等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,∴2*4=(a-1) 2a,解得a=3;(2)由(1)知a=3,可得a1=a-1=2,∴公差d=4-2=2,∴an=2 2(n-1)=2n,∴Sk=k(a1 ak)2=k(2 2k)2=k(k 1)=2550,解得k=50,或k=-51(舍去)∴k的值为:50
已知等比数列{an}满足a1a6=11,且a? …… 解:(1)由题意得{a1 a1q5=11a1q2•a1q3=329,则{a1 =323q =12或{a1 =13q =2∴an=323• (12)n-1=13•26-n或an=13•2n-1.(2)对an=13•2n-1,若存在题设要求的m,则2•(13•2m-1)2=23•13•2m-2 13•2m 49.∴(2m)2-7•2m-8=0.∴2m=8,m=3.对an=13•26-n,若存在题设要求的m,同理有(26-m)2-11•26-m-8=0.而△=112 16*8不是完全平方数,故此时所需的m不存在.综上所述,满足条件的等比数列存在,且有an=13•2n-1.
已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=? …… 证明:(I)∵数列{an}为等比数列,a1=13,q=13∴an=13*(13)n-1=13n,Sn=13(1- 13n)1-13=1-13n2又∵1-an2=1-13n2=Sn∴Sn=1-an2(II)∵an=13n∴bn=log3a1 log3a2 … log3an=-log33 (-2log33) …-nlog33=-(1 2 … n)=-n(n 1)2∴数列{bn}的通项公式为:bn=-n(n 1)2
等差数列{an}中,已知a1=13,a2a5? …… 解:设等差数列{an}的公差为d,由已知a1=13,a2 a5=4,可得{a1=132a1 5d=4,解得d=23,又an=33,∴13 (n-1)*23=33,解得n=50.∴an=13 (n-1)*23=2n 13.Sn=n(13 2n 13)2=n(n 1)3.
对数列{an},规定{△an? …… 解:(Ⅰ)△an=an 1-an=(n 1)2 (n 1)-(n2 n)=2n 2,∵△an 1-△an=2,且△a1=4,(2分)∴{△an}是首项为4,公差为2的等差数列,不是等比数列. (3分)∵△2an=2(n 1) ...
等差数列{an}各项依次递减,且有a2a4a? …… 解:设等差数列{an}的公差为d,由a2a4a6=45,得(a4-2d)a4(a4 2d)=45①由a2 a4 a6=15,得3a4=15,a4=5.把a4=5代入①得,d=±2.因为差数列{an}各项依次递减,所以d=-2.所以通项公式是an=a4 (n-4)d=5-2(n-4)=-2n 13.故选C.
对于数列{an},若定义一种新运算:△an=? …… 解:(1)∵△an=an 1-an,an=5n2 3n∴△an=5(n 1)2 3(n 1)-(5n2 3n)=10n 8∴{△an}是以18 为首项,10为公差的等差数列∵△2an=△an 1-△an=an 2-an 1-(an 1-an)=20n ...
等差数列{an}中a3=6,a6=0(1)求? …… 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=6,a6=0,∴{a1 2d=6a1 5d=0,解得{a1=10d=-2,∴an=a1 (n-1)d=10-2(n-1)=12-2n.(2)b2=a1 a2 a3=10 8 6=24.∴q=b2b1=24-8=-3.∴bn=-8•(-3)n-1.∴Sn=-8[(-3)n-1]-3-1=2•(-3)n-2.
