伯努利微分方程的通解
@齐枝4103：大学高数,求伯努利微分方程的通解 -
桂沫13271014755…… 设u=y² u'-2u=-4x u=y²=C e^(2x)+2x+1
@齐枝4103：求伯努利方程的通解 -
桂沫13271014755…… 解:∵y'=(y^2+x^3)/(2xy) ==>2xydy-y^2dx=x^3dx ==>2ydy/x-y^2dx/x^2=xdx (等式两端同除x^2) ==>d(y^2/x)=d(x^2/2) ==>∫d(y^2/x)=∫d(x^2/2) ==>y^2/x=x^2/2+C (C是常数) ==>y^2=x^3/2+Cx ∴此方程的通解是y^2=x^3/2+Cx.
@齐枝4103：第4题,求伯努利方程通解 -
桂沫13271014755…… (1)解:令z=1/y,则y'=-y^2z' 代入原方程,化简得z'-z=sinx-cosx..........(1) ∵方程(1)是一阶线性微分方程 ∴由一阶线性微分方程的通解公式,可得方程(1)的通解是 z=Ce^x-sinx (C是积分常数) ==>1/y=Ce^x-sinx 故原方程的通解是(Ce^x-sinx)y=1.
@齐枝4103：求微分方程的通解 -
桂沫13271014755…… 求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解 解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx 即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx ...
@齐枝4103：微积分求伯努利方程的解 -
桂沫13271014755…… 按最后化成的z的一阶线性非齐次方程求解.这可以代线性方程求解公式.再代会y即可.
@齐枝4103：求这道微分方程的通解,求过程! -
桂沫13271014755…… 令y=lnx+u(x),代入原方程 1/x+u'(x)=1/x+e^[lnx+u(x)]=1/x+x*e^u(x) u'(x)=x*e^u(x) du/dx=xe^u e^(-u)du=xdx ∫e^(-u)du=∫xdx e^(-u)=-(x^2)/2+C -u=ln[C-(x^2)/2] u=-ln[C-(x^2)/2] 所以y=lnx-ln[C-(x^2)/2]=ln[2x/(C-x^2)],其中C是任意常数
@齐枝4103：伯努利方程求通解:dy/dx - 3xy=xy^2 -
桂沫13271014755…… dy/dx-3xy=xy^2 y'/y^2-3x/y=x z=1/y z'=-y'/y^2 代入:z'+3xz=-x 通解:1/y=z=Ce^(-3x)-1/3
@齐枝4103：微分方程xy”=y' - x(y')^2的通解为? -
桂沫13271014755…… 第一步:(1) 令y'=p, 则y''=p' , 原来的二阶微分方程xy”=y'-x(y')^2就可以化为以p为函数的一阶微分方程(是n=2的伯努利方程): xp'=p-xp^2 (2) 求解n=2的伯努利方程xp'=p-xp^2: 令z=1/p,则 z'=-1/(p^2)*p', 因此 xz'=-1/(p^2)*(p-xp^2)=-1/...
@齐枝4103：求微分方程通解
桂沫13271014755…… 方程改写为:dx/dy+1/3*x=2cosy/3*x^(-2),此为伯努利方程,n=-2 令z=x^3,则方程化为z'+z=2cosy,套用通解公式,得z=e^(-y)*[e^y(siny+cosy)+C]=siny+cosy+Ce^(-y) 所以,原方程的通解是x^3=siny+cosy+Ce^(-y)
@齐枝4103：求微分方程通解!! -
桂沫13271014755…… 先求对应齐次方程xy'+y=0的解Y Y=C/x 用常数变异法,可设原方程的通解为 y=c(x)/x 两边求导 y'=(c'(x)x-c(x))/x^2 带入原方程 c'(x)-c(x)/x+c(x)/x=x^2+3x+2 化简得 c'(x)=x^2+3x+2 所以c(x)=x^3/3+3x^2/2+2x+C y=x^2/3+3x/2+2+C/x
桂沫13271014755…… 设u=y² u'-2u=-4x u=y²=C e^(2x)+2x+1
@齐枝4103：求伯努利方程的通解 -
桂沫13271014755…… 解:∵y'=(y^2+x^3)/(2xy) ==>2xydy-y^2dx=x^3dx ==>2ydy/x-y^2dx/x^2=xdx (等式两端同除x^2) ==>d(y^2/x)=d(x^2/2) ==>∫d(y^2/x)=∫d(x^2/2) ==>y^2/x=x^2/2+C (C是常数) ==>y^2=x^3/2+Cx ∴此方程的通解是y^2=x^3/2+Cx.
@齐枝4103：第4题,求伯努利方程通解 -
桂沫13271014755…… (1)解:令z=1/y,则y'=-y^2z' 代入原方程,化简得z'-z=sinx-cosx..........(1) ∵方程(1)是一阶线性微分方程 ∴由一阶线性微分方程的通解公式,可得方程(1)的通解是 z=Ce^x-sinx (C是积分常数) ==>1/y=Ce^x-sinx 故原方程的通解是(Ce^x-sinx)y=1.
@齐枝4103：求微分方程的通解 -
桂沫13271014755…… 求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解 解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx 即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx ...
@齐枝4103：微积分求伯努利方程的解 -
桂沫13271014755…… 按最后化成的z的一阶线性非齐次方程求解.这可以代线性方程求解公式.再代会y即可.
@齐枝4103：求这道微分方程的通解,求过程! -
桂沫13271014755…… 令y=lnx+u(x),代入原方程 1/x+u'(x)=1/x+e^[lnx+u(x)]=1/x+x*e^u(x) u'(x)=x*e^u(x) du/dx=xe^u e^(-u)du=xdx ∫e^(-u)du=∫xdx e^(-u)=-(x^2)/2+C -u=ln[C-(x^2)/2] u=-ln[C-(x^2)/2] 所以y=lnx-ln[C-(x^2)/2]=ln[2x/(C-x^2)],其中C是任意常数
@齐枝4103：伯努利方程求通解:dy/dx - 3xy=xy^2 -
桂沫13271014755…… dy/dx-3xy=xy^2 y'/y^2-3x/y=x z=1/y z'=-y'/y^2 代入:z'+3xz=-x 通解:1/y=z=Ce^(-3x)-1/3
@齐枝4103：微分方程xy”=y' - x(y')^2的通解为? -
桂沫13271014755…… 第一步:(1) 令y'=p, 则y''=p' , 原来的二阶微分方程xy”=y'-x(y')^2就可以化为以p为函数的一阶微分方程(是n=2的伯努利方程): xp'=p-xp^2 (2) 求解n=2的伯努利方程xp'=p-xp^2: 令z=1/p,则 z'=-1/(p^2)*p', 因此 xz'=-1/(p^2)*(p-xp^2)=-1/...
@齐枝4103：求微分方程通解
桂沫13271014755…… 方程改写为:dx/dy+1/3*x=2cosy/3*x^(-2),此为伯努利方程,n=-2 令z=x^3,则方程化为z'+z=2cosy,套用通解公式,得z=e^(-y)*[e^y(siny+cosy)+C]=siny+cosy+Ce^(-y) 所以,原方程的通解是x^3=siny+cosy+Ce^(-y)
@齐枝4103：求微分方程通解!! -
桂沫13271014755…… 先求对应齐次方程xy'+y=0的解Y Y=C/x 用常数变异法,可设原方程的通解为 y=c(x)/x 两边求导 y'=(c'(x)x-c(x))/x^2 带入原方程 c'(x)-c(x)/x+c(x)/x=x^2+3x+2 化简得 c'(x)=x^2+3x+2 所以c(x)=x^3/3+3x^2/2+2x+C y=x^2/3+3x/2+2+C/x
