微分方程的典型例题
@福戚5797：微分方程应用的实例.最好有过程分析的. -
韦善19768894578…… 光滑平面上弹簧振子的运动: 在弹性限度内,从平衡位置水平拉开距离A后释放,弹簧振子随即震动起来,选平衡位置为坐标原点,弹簧伸长方向为x轴,x=0时开始计时,在任意时刻t,位移为x,物体的运动加速度与所受弹力(f=-kx)的关系服从牛顿第二定律 m(d²x/dt²)=-kx, 令d²x/dt²=x'',k/m=ω² x''+ω²x=0 特征方程r²+ω²=0的解为r=±ωi 因此微分方程的解为 x=Ccosωt+Dsinωt 我们可以用三角公式表示为 x=Acos(ωt+a) A,a待定系数 t=0时,x=0,==>0=Acosa==>a=π/2, 则x=Acos(ωt+π/2) (cos的最大值是1,A便是振幅)
@福戚5797：一道高数(微分方程)的题目!已知微分方程dy/dx+p(x)y=f(x).有两个特解y1= - 1/4x^2 y2= - 1/4x^2 - 4/(x^2)求满足的p(x),f(x),并给出方程通解.key:2/x - xC4/(x^2) - ... - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] (y1)'=(1/4x^2)'=1/2*x(y2)'=-1/2*x+8/(x^3)将y1 y2 和(y1)' (y2)'代入微分方程,得-1/2*x-1/4*x^2*p(x)=f(x) (1)-1/2*x+8/(x^3)-1/4x^2 p(x)+4/(x^2) p(x)=f(x) (2)两式相减,得4/x^2 *p(x)=8/x^3于是p(x...
@福戚5797：求解微分方程!内附题目 -
韦善19768894578…… 解:设S(t)为时刻t时桶内含盐的总量 则变化率S'(t)=注入盐的速度-流出盐的速度 ∵注入盐的速度=2g/L*3L/min=6(g/min) 流出盐的速度=S(t)g/100L*2L/min=S(t)/50(g/min) ∴得微分方程S'(t)=6-S(t)/50,S(0)=50........(1) 先解齐次方程S'(t)+S(t)/50=0 ==...
@福戚5797：大一微分方程的一道题 求微分方程y''+25y=0 满足初始条件y=2时x=0 y'=5时x=0 的特解 - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] 特征方程为 r²+25=0 r=±5i 所以 通解为 y=c1cos5x+c2sin5x 2=c1 y=2cos5x+c2sin5x y'=-10sin5x+5c2cos5x 5=5c2 c2=1 所以 特解为 y=2cos5x+sin5x
@福戚5797：微分方程的题目 -
韦善19768894578…… 解:属可分离变量型一阶微分方程.设y=ux,则y'=u+xu',代入原方程,经整理,有xu'=ulnu-u.∴du/[ulnu-u)=dx/x.两边积分,有ln丨lnu-1丨=ln丨x丨+lnc ∴lnu-1=cx,∴u=e^(cx+1).∴原方程的通解y=xe^(cx+1),其中,c为常数.供参考.
@福戚5797：一道微分方程的题
韦善19768894578…… y'=sin(x+y+1) 即y'+1=sin(x+y+1)+1 即(y+x)'=sin(x+y+1)+1 即(y+x+1)'=sin(x+y+1)+1 令z=y+x+1,则z'=sinz+1 下面解z'=sinz+1 先考虑微分方程z'=sinz的解 由dz/dx=sinz得 dx=dz/sinz=sinzdz/(sinz)^2=dcosz/[(cosz)^2-1]=(1/2)[dcosz/(cosz-1)-...
@福戚5797：微分方程题目 -
韦善19768894578…… 特征方程:r²+4=0,解得r₁=2i,r₂=-2i 对应的齐次微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x 设微分方程的一个特解为y*=ax+b,代入微分方程,解得a=1,b=-2 微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x+x-2
@福戚5797：可分离变量的微分方程 -
韦善19768894578…… 原发布者:24小时一线天 第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一、可分离变量的微分方程形如yf(x)g(y)的方程,称为可分离变量的微分方程.分离变量,得:g(y)dyf(x)dx,①设y=(x)是方程①的解,则有恒等式:g((x)...
@福戚5797：高等数学题目,解微分方程 -
韦善19768894578…… 为求方便.令y'=p 则原方程化简为p^3+2xp=y 两边对x微分得:3(p^2)*dp/dx+2p+2x*dp/dx=p 化简得3(p^2)dp+pdx+2xdp=0(*) (1)若p=0即y'=0 方程(*)显然成立,代入原方程得解y=0 (2)若p不为0, 则方程(*)两端同乘以p 得: 3(p^3)dp+(p^2*dx...
@福戚5797：关于微分方程的证明题设y1(x),y2(x),y3(x)是微分方程y'+P(x)y=Q(x)的三个相异的解,证明:(y3(x) - y1(x))/(y2(x) - y1(x))=C - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] 只需证明[y3(x)-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数恒为0. 事实上,[y3(x)-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数为 [(y3(x)'-y1(x)')(y2(x)-y1(x))-(y3(x)-y1(x))(y2(x)'-y1(x)')]/(y2(x)-y1(x))^2 由于y1,y2,y3都满足题设中的微分方程, 所以可用Q-P(x)y1代替导数y1' 代人...
韦善19768894578…… 光滑平面上弹簧振子的运动: 在弹性限度内,从平衡位置水平拉开距离A后释放,弹簧振子随即震动起来,选平衡位置为坐标原点,弹簧伸长方向为x轴,x=0时开始计时,在任意时刻t,位移为x,物体的运动加速度与所受弹力(f=-kx)的关系服从牛顿第二定律 m(d²x/dt²)=-kx, 令d²x/dt²=x'',k/m=ω² x''+ω²x=0 特征方程r²+ω²=0的解为r=±ωi 因此微分方程的解为 x=Ccosωt+Dsinωt 我们可以用三角公式表示为 x=Acos(ωt+a) A,a待定系数 t=0时,x=0,==>0=Acosa==>a=π/2, 则x=Acos(ωt+π/2) (cos的最大值是1,A便是振幅)
@福戚5797：一道高数(微分方程)的题目!已知微分方程dy/dx+p(x)y=f(x).有两个特解y1= - 1/4x^2 y2= - 1/4x^2 - 4/(x^2)求满足的p(x),f(x),并给出方程通解.key:2/x - xC4/(x^2) - ... - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] (y1)'=(1/4x^2)'=1/2*x(y2)'=-1/2*x+8/(x^3)将y1 y2 和(y1)' (y2)'代入微分方程,得-1/2*x-1/4*x^2*p(x)=f(x) (1)-1/2*x+8/(x^3)-1/4x^2 p(x)+4/(x^2) p(x)=f(x) (2)两式相减,得4/x^2 *p(x)=8/x^3于是p(x...
@福戚5797：求解微分方程!内附题目 -
韦善19768894578…… 解:设S(t)为时刻t时桶内含盐的总量 则变化率S'(t)=注入盐的速度-流出盐的速度 ∵注入盐的速度=2g/L*3L/min=6(g/min) 流出盐的速度=S(t)g/100L*2L/min=S(t)/50(g/min) ∴得微分方程S'(t)=6-S(t)/50,S(0)=50........(1) 先解齐次方程S'(t)+S(t)/50=0 ==...
@福戚5797：大一微分方程的一道题 求微分方程y''+25y=0 满足初始条件y=2时x=0 y'=5时x=0 的特解 - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] 特征方程为 r²+25=0 r=±5i 所以 通解为 y=c1cos5x+c2sin5x 2=c1 y=2cos5x+c2sin5x y'=-10sin5x+5c2cos5x 5=5c2 c2=1 所以 特解为 y=2cos5x+sin5x
@福戚5797：微分方程的题目 -
韦善19768894578…… 解:属可分离变量型一阶微分方程.设y=ux,则y'=u+xu',代入原方程,经整理,有xu'=ulnu-u.∴du/[ulnu-u)=dx/x.两边积分,有ln丨lnu-1丨=ln丨x丨+lnc ∴lnu-1=cx,∴u=e^(cx+1).∴原方程的通解y=xe^(cx+1),其中,c为常数.供参考.
@福戚5797：一道微分方程的题
韦善19768894578…… y'=sin(x+y+1) 即y'+1=sin(x+y+1)+1 即(y+x)'=sin(x+y+1)+1 即(y+x+1)'=sin(x+y+1)+1 令z=y+x+1,则z'=sinz+1 下面解z'=sinz+1 先考虑微分方程z'=sinz的解 由dz/dx=sinz得 dx=dz/sinz=sinzdz/(sinz)^2=dcosz/[(cosz)^2-1]=(1/2)[dcosz/(cosz-1)-...
@福戚5797：微分方程题目 -
韦善19768894578…… 特征方程:r²+4=0,解得r₁=2i,r₂=-2i 对应的齐次微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x 设微分方程的一个特解为y*=ax+b,代入微分方程,解得a=1,b=-2 微分方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x+x-2
@福戚5797：可分离变量的微分方程 -
韦善19768894578…… 原发布者:24小时一线天 第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一、可分离变量的微分方程形如yf(x)g(y)的方程,称为可分离变量的微分方程.分离变量,得:g(y)dyf(x)dx,①设y=(x)是方程①的解,则有恒等式:g((x)...
@福戚5797：高等数学题目,解微分方程 -
韦善19768894578…… 为求方便.令y'=p 则原方程化简为p^3+2xp=y 两边对x微分得:3(p^2)*dp/dx+2p+2x*dp/dx=p 化简得3(p^2)dp+pdx+2xdp=0(*) (1)若p=0即y'=0 方程(*)显然成立,代入原方程得解y=0 (2)若p不为0, 则方程(*)两端同乘以p 得: 3(p^3)dp+(p^2*dx...
@福戚5797：关于微分方程的证明题设y1(x),y2(x),y3(x)是微分方程y'+P(x)y=Q(x)的三个相异的解,证明:(y3(x) - y1(x))/(y2(x) - y1(x))=C - 作业帮
韦善19768894578…… [答案] 只需证明[y3(x)-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数恒为0. 事实上,[y3(x)-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数为 [(y3(x)'-y1(x)')(y2(x)-y1(x))-(y3(x)-y1(x))(y2(x)'-y1(x)')]/(y2(x)-y1(x))^2 由于y1,y2,y3都满足题设中的微分方程, 所以可用Q-P(x)y1代替导数y1' 代人...
